複利(Compound interest)

 


钱滚钱的方式,可能让人富有也可能让有债务的人破产,那幺,钱如何滚钱呢?当然就财务上所谓複利的效果,也就是假设你有 $$100$$ 万元年初存入银行,银行给你一年 $$2\%$$ 的利息,如果每一年计息一次,则一年后你银行存款就会有 $$100\times(1+0.02)=102$$ 万,隔年如果继续存款,那原本利息就会加入本金,也就是说新的一年度,你的本金就会变成 $$102$$万,第二年末的本利和就为 $$102\times(1+0.02)= 100\times(1+0.02)^2$$ 万,如果继续存了 $$5$$ 年都未领出任何钱,则五年后你的银行存款会有 $$100\times(1+0.02)^5$$,我们利用图(一)来表示这种情况。

像这种每年利息加入隔年本金计息的方式,我们就称为複利,而如果现在有本金 $$P_0$$,年利率定为 $$r(100\%)$$,则 $$t$$ 年后本利和就为 $$P_0{(1+r)}^t$$,複利效果也就是等比级数的呈现。

複利(Compound interest)

现实生活中,计息週期的方式可能是以年、半年、季、月、半月、周和日计息,不同週期的计息方式,会得到不同的利息钱,而从直观上,似乎计息的週期越短, 钱滚钱效果好像越好,利息越多,真如直观上的想法吗?让我们来验证看看。

首先,假设一年计息的次数共 $$n$$ 期,即由图(一)将每一年分割成 $$n$$ 等分且每一等分的利率就会变成 $$\frac{r}{n}$$,$$t$$ 年就会变成 $$nt$$ 期,所以,$$t$$ 年后本利和就更为 $$P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$。

假设某人借了现金卡 $$10$$ 万元,年利率 $$18\%$$,在一年内都未还任何款项下,那让我们来看当分别以年、半年、季、月、半月、週、和日计息时,一年后所需还钱会是多少?也就是当 $$P_0=10$$ 万、$$r=18\%$$、$$t=1$$,$$n$$ 不同情况的本利和会是多少?由表(一)发现本利和随着期数增加,会逐渐增加,所以和我们直观想法是一样。

随着期数越增越多至无限制时,又会如何呢?这样本利和增加会有界限吗?由表(一),我们可以初步发现似乎在不考虑小数位数下,到一定值会稳定,并不会无限制增加。当然,如果想得到更精密结果,可能需要藉由数学严谨分析与证明,才可以得知该数列是否确实稳定下来,而不会再增加。利用微积分的语言,我们就可以证明该数列是会收敛到某一个数值。

複利(Compound interest)

表(一) 当 $$P_0=10$$ 万、$$r=18\%$$、$$t=1$$,不同利息週期下,一年后本利和

既然收敛一词出现,就得套用为积分的语言,那幺,极限 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$ 会收敛于怎样一个数?如果我们假设 $$P_0=1$$、$$r=1$$ 且 $$t=1$$,则複利公式就改成 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$,而这个式子在数学上就称为 $$e$$,也就是欧拉数(Euler’s number),如果模拟表(一)的方法,就可以发现 $$e$$ 大约等于 $$2.71828\mbox{…}$$,而 $$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_0(1+\frac{r}{n})^{nt}$$ 就会等于 $$P_0e^{rt}$$,取以 $$e$$ 为底的对数为 $$\log_e$$,又可以写成 $$\ln$$,称为自然对数。

原本看似不相关的複利公式与欧拉数,在极限的无穷威力下,却变成了密不可分,这或许又是数学充满无限想像的展现吧。

参考文献:

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